1
00:00:08,109 --> 00:00:09,530
Acabamos el módulo

2
00:00:09,530 --> 00:00:11,939
hablando de el caso de curvas

3
00:00:11,939 --> 00:00:15,700
racionales a trozos, es decir de splines racionales.

4
00:00:17,390 --> 00:00:20,029
Aplicar el algoritmo De Boor a curvas racionales

5
00:00:20,029 --> 00:00:23,759
supone como única novedad introducir el peso, con lo cual

6
00:00:23,759 --> 00:00:28,769
el resto de algoritmos que hemos utilizado como algunos de inserción de nudos

7
00:00:28,769 --> 00:00:29,520
de elevación del grado

8
00:00:29,520 --> 00:00:31,340
se puede aplicar de idéntica manera

9
00:00:31,340 --> 00:00:36,500
simplemente teniendo en cuenta que tenemos pesos, es decir, que nuestros vértices

10
00:00:36,500 --> 00:00:38,190
en el polígono que llamábamos vectorial

11
00:00:38,190 --> 00:00:40,500
tienen una coordenada adicional

12
00:00:41,720 --> 00:00:43,250
sí queremos utilizar

13
00:00:43,250 --> 00:00:46,230
las funciones de splines, las funciones nodales

14
00:00:46,230 --> 00:00:51,060
la única diferencia es que aparte de la combinación con los vertices del polígono de control y las funciones

15
00:00:51,480 --> 00:00:54,300
nos va aparecer también un denominador con los pesos

16
00:00:57,560 --> 00:00:59,600
correspondientes a los vertices del polígono de spline

17
00:00:59,600 --> 00:01:00,600
como siempre

18
00:01:00,600 --> 00:01:04,100
por cada vértice del polígono, tenemos un peso

19
00:01:04,660 --> 00:01:08,130
la lista de nudos no sufre ningún cambio

20
00:01:08,130 --> 00:01:11,300
al igual que con la propiedad de control local

21
00:01:11,300 --> 00:01:12,960
si movemos un peso

22
00:01:12,960 --> 00:01:16,590
movemos a lo sumo n+1 tramos de la curva

23
00:01:16,590 --> 00:01:19,500
que es lo que vemos aquí, en este caso parabólico

24
00:01:19,500 --> 00:01:23,520
movemos el peso W 3 y vemos que el tramo amarillo, el tramo verde y el tramo azul

25
00:01:23,520 --> 00:01:26,250
se ven afectados

26
00:01:26,250 --> 00:01:30,380
o si lo queremos ver de manera continua, lo podemos ver

27
00:01:30,380 --> 00:01:36,740
en esta animación

28
00:01:36,740 --> 00:01:39,800
por fin vamos a ver un caso aplicado

29
00:01:39,800 --> 00:01:44,250
en los pdf teneís más casos aplicados, pero este caso es especialmente interesante

30
00:01:44,250 --> 00:01:48,260
¿podemos utilizar esta construcción de los splines racionales para construir

31
00:01:48,260 --> 00:01:51,410
curvas sencillas como la circunferencia?

32
00:01:51,410 --> 00:01:54,940
vamos a ver, que vamos a encontrar un problema complicado

33
00:01:54,940 --> 00:01:57,790
pero lo resolveremos, no os preocupéis

34
00:01:57,790 --> 00:01:59,920
con una circunferencia

35
00:01:59,920 --> 00:02:02,670
con cuatro tramos de 90 grados

36
00:02:02,670 --> 00:02:05,450
lo razonable sería hacer esta construcción que tenemos aquí

37
00:02:05,450 --> 00:02:07,020
inicialmente tendríamos

38
00:02:07,020 --> 00:02:10,819
un arco de circunferencia comenzarían de 0, de 1

39
00:02:10,819 --> 00:02:11,829
aquí tendríamos

40
00:02:11,829 --> 00:02:13,979
el vértice que hemos borrado

41
00:02:13,979 --> 00:02:16,229
para que no nos lo modifique nuestro diseñador

42
00:02:16,229 --> 00:02:17,539
él siguiente sería,

43
00:02:17,539 --> 00:02:20,329
esta esquina,

44
00:02:20,329 --> 00:02:25,079
y remataríamos la circunferencia al cerrarla, uniendo el

45
00:02:25,079 --> 00:02:27,789
el vértice de 0, con el de 5

46
00:02:27,789 --> 00:02:31,909
¿qué pesos tendrían estos vértices?

47
00:02:31,909 --> 00:02:33,010
el vértice de 0

48
00:02:33,010 --> 00:02:34,679
y el de 5, tendrían

49
00:02:34,679 --> 00:02:36,879
peso unidad,  peso normalizado

50
00:02:36,879 --> 00:02:42,569
y estos, como son vértices intermedios, tendrían peso 1 partido por raiz de 2

51
00:02:42,569 --> 00:02:44,460
¿qué nudos utilizariamos?

52
00:02:44,719 --> 00:02:49,580
si consideramos intervalos 0 - 1, 1 - 2, 2 - 3,  3 - 4,

53
00:02:49,669 --> 00:02:50,660
a los cuatro tramos

54
00:02:50,660 --> 00:02:53,309
habría que añadir nudos adicionales, el 0

55
00:02:53,309 --> 00:02:55,449
y 4 al comienzo

56
00:02:55,449 --> 00:02:59,249
introducimos esta información en nuestra aplicación de diseño

57
00:02:59,249 --> 00:03:00,239
y ¿qué obtenemos?

58
00:03:00,239 --> 00:03:03,790
obtenemos un resultado decepcionante, lo que obtenemos si lo comparamos con una

59
00:03:03,790 --> 00:03:07,559
circunferencia, no es exactamente una circunferencia

60
00:03:07,559 --> 00:03:09,079
¿a qué se debe?

61
00:03:09,079 --> 00:03:10,569
a que aquí tenemos

62
00:03:10,569 --> 00:03:13,490
para calcular algunos de esos tramos, tenemos listas de pesos

63
00:03:13,490 --> 00:03:16,030
repetidos, y al tener listas de pesos repetidos

64
00:03:16,030 --> 00:03:18,130
tendríamos que los tramos de esta parte

65
00:03:18,130 --> 00:03:19,219
son parabólicos

66
00:03:19,219 --> 00:03:21,579
y no son circunferencias

67
00:03:21,579 --> 00:03:22,840
¿cómo salimos del paso?

68
00:03:22,840 --> 00:03:26,779
¿cómo podemos trazar circunferencias de verdad?

69
00:03:26,779 --> 00:03:28,370
la solución, la hemos visto

70
00:03:28,370 --> 00:03:30,469
lo que pasa es que a lo mejor, no nos acordamos

71
00:03:30,469 --> 00:03:31,660
la solución correcta

72
00:03:31,660 --> 00:03:36,180
es utilizar nudos repetidos, que si os acordáis, lo utilizábamos para construir

73
00:03:36,180 --> 00:03:37,279
puntos angulosos

74
00:03:37,279 --> 00:03:40,549
aunque parezca extraño, vas a construir puntos angulosos que no son angulosos

75
00:03:40,549 --> 00:03:44,300
que son puntos perfectamente regulares, debemos de utilizar este tipo de construcción

76
00:03:45,099 --> 00:03:46,380
como decía anteriormente

77
00:03:46,380 --> 00:03:47,959
el primer tramo tendría

78
00:03:47,959 --> 00:03:50,109
un polígono d0, d1, d2

79
00:03:50,109 --> 00:03:52,270
el siguiente tramo d2, d3, d4

80
00:03:52,270 --> 00:03:55,399
y así sucesivamente

81
00:03:55,399 --> 00:03:58,239
si no quiero eliminar

82
00:03:58,239 --> 00:04:01,820
estos vértices d2, d4, d6

83
00:04:02,060 --> 00:04:03,149
lo que puedes hacer es

84
00:04:03,149 --> 00:04:07,509
trabajar con un spline que en vez de ser de clase c1, sea de clase c0, es decir

85
00:04:07,509 --> 00:04:08,599
que solamente mantenga

86
00:04:08,599 --> 00:04:09,849
la continuidad

87
00:04:09,849 --> 00:04:11,060
¿cómo consigo esto?

88
00:04:11,060 --> 00:04:12,739
si recordamos los vídeos anteriores

89
00:04:12,739 --> 00:04:15,089
la opción para hacer esto, era utilizar

90
00:04:15,089 --> 00:04:17,469
nudos repetidos

91
00:04:17,469 --> 00:04:20,249
entonces, el polígono es el que he descrito

92
00:04:20,249 --> 00:04:23,080
la lista de pesos

93
00:04:23,080 --> 00:04:24,529
pues, sería la habitual

94
00:04:24,529 --> 00:04:27,699
1 raiz de 2, 1

95
00:04:27,699 --> 00:04:31,360
1 partido por raiz de 2, 1

96
00:04:31,360 --> 00:04:35,080
y la lista de nudos sería la que tendríamos anteriormente, pero repitiendo los nudos interiores

97
00:04:35,080 --> 00:04:36,319
es decir, tendríamos

98
00:04:36,319 --> 00:04:40,129
dos 0 repetidos, dos 1 repetidos para el primer intervalo

99
00:04:40,129 --> 00:04:41,220
dos 2 repetidos

100
00:04:41,220 --> 00:04:44,749
para el siguiente intervalo, y así sucesivamente

101
00:04:44,749 --> 00:04:46,410
recordáis que esta

102
00:04:46,410 --> 00:04:48,460
posibilidad de nudos repetidos la utilizábamos para

103
00:04:48,460 --> 00:04:49,990
conseguir tangentes no continuas

104
00:04:49,990 --> 00:04:51,080
sin embargo, en este caso

105
00:04:51,080 --> 00:04:52,610
como hemos alineado

106
00:04:52,610 --> 00:04:53,670
los vértices

107
00:04:53,670 --> 00:04:55,920
sí que mantenemos las

108
00:04:55,920 --> 00:04:59,810
tangentes continuas, evidentemente. Si a alguién le diera por mover el vértice d2 o d4

109
00:04:59,810 --> 00:05:03,620
nos haría perder esta propiedad, pero

110
00:05:03,620 --> 00:05:07,659
podemos utilizar esto para trazar de manera correcta circunferencias de splines

111
00:05:07,659 --> 00:05:10,729
eso tenerlo en cuenta, no solamente como ejemplo, si no cuando veamos superfices de la evolución ??

112
00:05:10,729 --> 00:05:15,529
las circunferencias van a tener un papel fundamental, como os podéis imaginar.

113
00:05:15,529 --> 00:05:20,940
y acabamos el módulo con una pequeña digresión, que considero que es interesante

114
00:05:21,469 --> 00:05:24,389
si recordáis, la palabra spline

115
00:05:24,389 --> 00:05:26,570
corresponde al castellano junquillo

116
00:05:26,570 --> 00:05:33,020
es decir, a la pieza de de goma o de madera flexible

117
00:05:33,340 --> 00:05:36,780
que utilizábamos para trazar curvas de manera análogica

118
00:05:37,800 --> 00:05:40,939
¿por qué utilizamos la palabra spline aparte de por la analogía

119
00:05:40,939 --> 00:05:43,420
para este tipo de funciones?

120
00:05:44,499 --> 00:05:49,940
en la energía de una pieza elástica, como puede ser un junquillo

121
00:05:50,199 --> 00:05:51,920
se puede definir

122
00:05:51,920 --> 00:05:54,400
como una integral en

123
00:05:54,400 --> 00:05:55,750
la longitud del junquillo

124
00:05:55,750 --> 00:05:57,879
del cuadrado de su curvatura

125
00:05:57,879 --> 00:05:59,770
en el fondo es la aceleración

126
00:05:59,770 --> 00:06:01,050
el módulo de la aceleración

127
00:06:01,050 --> 00:06:04,790
al cuadrado, de la curva en la parametrización

128
00:06:04,790 --> 00:06:06,569
por longitud de arco

129
00:06:06,560 --> 00:06:12,119
esta posición del junquillo

130
00:06:12,119 --> 00:06:16,189
sería la posición que miniza este tipo de energía, conseguir los mínimos

131
00:06:16,189 --> 00:06:17,379
de esta expresión es

132
00:06:17,379 --> 00:06:18,869
bastante complicado

133
00:06:18,869 --> 00:06:20,710
y podíamos probar

134
00:06:20,710 --> 00:06:22,009
con una versión

135
00:06:22,009 --> 00:06:25,969
más lineal de esta expresión,en vez de trabajar con la parametrización por

136
00:06:25,969 --> 00:06:26,599
longitud de arco

137
00:06:26,599 --> 00:06:29,709
podemos trabajar con la parametrización que hemos utilizado, con la parametrización

138
00:06:29,709 --> 00:06:33,999
polinómica a trozos

139
00:06:33,999 --> 00:06:38,290
calculamos el mínimo de esta

140
00:06:38,290 --> 00:06:39,699
de esta energía

141
00:06:39,699 --> 00:06:41,259
linealizada

142
00:06:41,259 --> 00:06:42,490
se puede ver

143
00:06:42,490 --> 00:06:44,689
que es un estado que se llama teorema de Faraday

144
00:06:44,689 --> 00:06:47,469
que el spline cúbico de clase C 2

145
00:06:47,469 --> 00:06:51,960
es precisamente el que minimiza esta versión lineal

146
00:06:51,960 --> 00:06:53,150
de la energía

147
00:06:53,150 --> 00:06:54,759
con lo cual

148
00:06:56,020 --> 00:06:58,309
 las funciones splines, no solamente

149
00:06:58,309 --> 00:07:00,610
es por la analogía con el junquillo antiguo

150
00:07:00,610 --> 00:07:01,520
sino, que realmente

151
00:07:01,520 --> 00:07:03,090
cumplen propiedades parecidas

152
00:07:03,090 --> 00:07:05,229
a la que cumple el junquillo físico

153
00:07:05,229 --> 00:07:10,589
propiedades de minimización de una energía