Acabamos el módulo hablando de el caso de curvas racionales a trozos, es decir de splines racionales.

 Aplicar el algoritmo De Boor a curvas racionales supone como única novedad introducir el peso, con lo cual el resto de algoritmos que hemos utilizado como algunos de inserción de nudos de elevación del grado se puede aplicar de idéntica manera simplemente teniendo en cuenta que tenemos pesos, es decir, que nuestros vértices en el polígono que llamábamos vectorial tienen una coordenada adicional sí queremos utilizar las funciones de splines, las funciones nodales la única diferencia es que aparte de la combinación con los vertices del polígono de control y las funciones nos va aparecer también un denominador con los pesos correspondientes a los vertices del polígono de spline como siempre por cada vértice del polígono, tenemos un peso la lista de nudos no sufre ningún cambio al igual que con la propiedad de control local si movemos un peso movemos a lo sumo n+1 tramos de la curva que es lo que vemos aquí, en este caso parabólico movemos el peso W 3 y vemos que el tramo amarillo, el tramo verde y el tramo azul se ven afectados o si lo queremos ver de manera continua, lo podemos ver en esta animación por fin vamos a ver un caso aplicado en los pdf teneís más casos aplicados, pero este caso es especialmente interesante ¿podemos utilizar esta construcción de los splines racionales para construir curvas sencillas como la circunferencia?

 vamos a ver, que vamos a encontrar un problema complicado pero lo resolveremos, no os preocupéis con una circunferencia con cuatro tramos de 90 grados lo razonable sería hacer esta construcción que tenemos aquí inicialmente tendríamos un arco de circunferencia comenzarían de 0, de 1 aquí tendríamos el vértice que hemos borrado para que no nos lo modifique nuestro diseñador él siguiente sería, esta esquina, y remataríamos la circunferencia al cerrarla, uniendo el el vértice de 0, con el de 5 ¿qué pesos tendrían estos vértices?

 el vértice de 0 y el de 5, tendrían peso unidad, peso normalizado y estos, como son vértices intermedios, tendrían peso 1 partido por raiz de 2 ¿qué nudos utilizariamos?

 si consideramos intervalos 0 - 1, 1 - 2, 2 - 3, 3 - 4, a los cuatro tramos habría que añadir nudos adicionales, el 0 y 4 al comienzo introducimos esta información en nuestra aplicación de diseño y ¿qué obtenemos?

 obtenemos un resultado decepcionante, lo que obtenemos si lo comparamos con una circunferencia, no es exactamente una circunferencia ¿a qué se debe?

 a que aquí tenemos para calcular algunos de esos tramos, tenemos listas de pesos repetidos, y al tener listas de pesos repetidos tendríamos que los tramos de esta parte son parabólicos y no son circunferencias ¿cómo salimos del paso?

 ¿cómo podemos trazar circunferencias de verdad?

 la solución, la hemos visto lo que pasa es que a lo mejor, no nos acordamos la solución correcta es utilizar nudos repetidos, que si os acordáis, lo utilizábamos para construir puntos angulosos aunque parezca extraño, vas a construir puntos angulosos que no son angulosos que son puntos perfectamente regulares, debemos de utilizar este tipo de construcción como decía anteriormente el primer tramo tendría un polígono d0, d1, d2 el siguiente tramo d2, d3, d4 y así sucesivamente si no quiero eliminar estos vértices d2, d4, d6 lo que puedes hacer es trabajar con un spline que en vez de ser de clase c1, sea de clase c0, es decir que solamente mantenga la continuidad ¿cómo consigo esto?

 si recordamos los vídeos anteriores la opción para hacer esto, era utilizar nudos repetidos entonces, el polígono es el que he descrito la lista de pesos pues, sería la habitual 1 raiz de 2, 1 1 partido por raiz de 2, 1 y la lista de nudos sería la que tendríamos anteriormente, pero repitiendo los nudos interiores es decir, tendríamos dos 0 repetidos, dos 1 repetidos para el primer intervalo dos 2 repetidos para el siguiente intervalo, y así sucesivamente recordáis que esta posibilidad de nudos repetidos la utilizábamos para conseguir tangentes no continuas sin embargo, en este caso como hemos alineado los vértices sí que mantenemos las tangentes continuas, evidentemente. Si a alguién le diera por mover el vértice d2 o d4 nos haría perder esta propiedad, pero podemos utilizar esto para trazar de manera correcta circunferencias de splines eso tenerlo en cuenta, no solamente como ejemplo, si no cuando veamos superfices de la evolución ??

 las circunferencias van a tener un papel fundamental, como os podéis imaginar.

 y acabamos el módulo con una pequeña digresión, que considero que es interesante si recordáis, la palabra spline corresponde al castellano junquillo es decir, a la pieza de de goma o de madera flexible que utilizábamos para trazar curvas de manera análogica ¿por qué utilizamos la palabra spline aparte de por la analogía para este tipo de funciones?

 en la energía de una pieza elástica, como puede ser un junquillo se puede definir como una integral en la longitud del junquillo del cuadrado de su curvatura en el fondo es la aceleración el módulo de la aceleración al cuadrado, de la curva en la parametrización por longitud de arco esta posición del junquillo sería la posición que miniza este tipo de energía, conseguir los mínimos de esta expresión es bastante complicado y podíamos probar con una versión más lineal de esta expresión,en vez de trabajar con la parametrización por longitud de arco podemos trabajar con la parametrización que hemos utilizado, con la parametrización polinómica a trozos calculamos el mínimo de esta de esta energía linealizada se puede ver que es un estado que se llama teorema de Faraday que el spline cúbico de clase C 2 es precisamente el que minimiza esta versión lineal de la energía con lo cual las funciones splines, no solamente es por la analogía con el junquillo antiguo sino, que realmente cumplen propiedades parecidas a la que cumple el junquillo físico propiedades de minimización de una energía