1
00:00:08,280 --> 00:00:11,970
Como ya os he mencionado, uno de los motivos por
los cuales pasamos de las curvas polinómicas a las

2
00:00:11,970 --> 00:00:15,890
curvas racionales, es poder trabajar 
con curvas como la circunferencia, la elipse,

3
00:00:15,890 --> 00:00:19,510
la hipérbola, con curvas cónicas.

4
00:00:19,510 --> 00:00:22,650
Las cónicas son curvas racionales de grado dos

5
00:00:22,650 --> 00:00:29,000
aquí tenemos, entonces, un 
ejemplo sencillo de parametrización

6
00:00:29,000 --> 00:00:31,430
de una curva de grado dos, racional, con su

7
00:00:31,430 --> 00:00:34,080
su denominador y su numerador de grado dos.

8
00:00:34,080 --> 00:00:37,680
Lo único que hemos hecho, para 
simplificar, es normalizar el peso inicial y el

9
00:00:37,680 --> 00:00:40,670
peso final unidad, como 
hemos visto anteriormente, y

10
00:00:40,670 --> 00:00:44,000
entonces nos queda solamente un parámetro 
libre que es el peso intermedio, el peso

11
00:00:44,000 --> 00:00:52,050
W uno, que, para simplificar, 
lo llamaremos W simplemente.

12
00:00:52,050 --> 00:00:58,320
¿Cómo sabemos que la curva es una elipse, 
una parábola, una hipérbola?

13
00:00:58,320 --> 00:01:03,460
Muy sencillo, como tenemos el denominador 
podemos saber si la curva tiene dos puntos en el

14
00:01:03,460 --> 00:01:07,910
infinito con lo cual sería una hipérbola, si la curva

15
00:01:07,910 --> 00:01:10,720
fuera una parábola, tendría 
un punto doble en el infinito,

16
00:01:10,720 --> 00:01:13,980
y si no tuviera ningún punto en 
el infinito sería una elipse, para ello

17
00:01:13,980 --> 00:01:17,260
lo que tenemos que ver son los ceros de este denominador.

18
00:01:17,260 --> 00:01:22,580
Es bastante sencillo, porque, si el peso 
toma valores entre cero y uno, la curva

19
00:01:22,580 --> 00:01:27,990
es una elipse, si el peso toma el valor unidad, 
es una parábola, cosa que ya sabíamos porque

20
00:01:27,990 --> 00:01:32,090
sitúo los pesos en la unidad, pues 
la curva no es racional, es polinómica, y

21
00:01:32,090 --> 00:01:36,170
si el peso es superior a la unidad, la 
curva es una hipérbola, pues bien,

22
00:01:36,170 --> 00:01:39,820
lo podemos ilustrar en esta pequeña animación.

23
00:01:39,820 --> 00:01:43,350
El parámetro V, el peso, no solamente es un parámetro de

24
00:01:43,350 --> 00:01:46,900
tensión, no solamente es un 
peso, sino que, encima, nos

25
00:01:46,900 --> 00:01:53,900
nos decide el carácter de la cónica.

26
00:01:55,770 --> 00:02:00,550
El caso que más nos interesa, 
seguramente, es el de una circunferencia.

27
00:02:00,550 --> 00:02:04,180
Nos ahorramos un poco la trigonometría 
que no es demasiado complicada

28
00:02:04,180 --> 00:02:09,660
si tenemos aquí un arco de apertura 2 α, 
llamamos α, por comodidad,

29
00:02:09,660 --> 00:02:14,070
es bastante fácil obtener los 
vértices del polígono control.

30
00:02:14,070 --> 00:02:18,650
El vértice c 0, es el origen del arco, 
el vértice C 2, es el final del arco

31
00:02:18,650 --> 00:02:22,760
y, el vértice c 1, pues, evidentemente, tendrá 
que estar en la intersección de las tangentes

32
00:02:22,760 --> 00:02:27,010
inicial y final con lo cual, los 
vértices del polígono, son bastante fáciles.

33
00:02:27,010 --> 00:02:29,440
Peso inicial y peso final, la unidad

34
00:02:29,440 --> 00:02:31,330
lo único que tenemos que saber, es

35
00:02:31,330 --> 00:02:35,000
cuál es el peso correspondiente al
vértice intermedio.

36
00:02:35,000 --> 00:02:41,030
Haciendo unas cuentas, que son un poquito tediosas, 
podemos sacar que el peso es, precisamente, el coseno

37
00:02:41,030 --> 00:02:47,210
de la mitad del ángulo de apertura, el coseno de α.

38
00:02:47,210 --> 00:02:51,070
Con lo cual, tenemos una interpretación adicional para el peso.

39
00:02:51,070 --> 00:02:54,850
Vamos a trazar unas circunferencias, 
ya que las tenemos por aquí a mano.

40
00:02:54,850 --> 00:03:02,600
Los casos sencillos serían, 
casos de un arco de 90 grados, de 120 grados,

41
00:03:02,600 --> 00:03:07,040
por ejemplo, sí el arco fuera de 
90 grados, el peso tendría que ser

42
00:03:07,040 --> 00:03:11,780
el coseno de 45 grados, entonces, tenemos que 
el peso tendría que ser raíz de dos partido por dos

43
00:03:11,780 --> 00:03:18,820
para un arco de 120 grados, el peso tendría 
que ser el coseno de 60, es decir, un medio.

44
00:03:18,820 --> 00:03:23,140
Vamos a jugar un poco con 
esto y podéis ver, entonces,

45
00:03:23,140 --> 00:03:32,730
una circunferencia trazada con tres arcos de 120, 
con seis arcos y trazamos muchos más términos,

46
00:03:32,730 --> 00:03:42,130
podemos aproximarnos, acercarnos mucho más 
a la circunferencia, todos son de manera exacta.

47
00:03:42,130 --> 00:03:47,690
Tenemos una salvedad, es que no podemos trazar curvas,

48
00:03:47,690 --> 00:03:50,080
arcos de circunferencia, con ángulos

49
00:03:50,080 --> 00:03:52,810
mayores o iguales a 180 grados.

50
00:03:52,810 --> 00:03:56,410
El porqué está bastante claro, no 
podemos trazar esta figura con un arco

51
00:03:56,410 --> 00:04:02,480
de 60 grados, porque si no 
el vértice c 1 se nos iría a infinito.

52
00:04:02,480 --> 00:04:07,930
Con esto espero haberos convencido de que 
trazar circunferencias, trazar cónicas en general es

53
00:04:07,930 --> 00:04:12,700
un procedimiento bastante sencillo 
utilizando curvas racionales de Bézier