Como ya os he mencionado, uno de los motivos por curvas racionales, es poder trabajar con curvas como la circunferencia, la elipse, la hipérbola, con curvas cónicas.

 Las cónicas son curvas racionales de grado dos aquí tenemos, entonces, un ejemplo sencillo de parametrización de una curva de grado dos, racional, con su su denominador y su numerador de grado dos.

 Lo único que hemos hecho, para simplificar, es normalizar el peso inicial y el peso final unidad, como hemos visto anteriormente, y entonces nos queda solamente un parámetro libre que es el peso intermedio, el peso W uno, que, para simplificar, lo llamaremos W simplemente.

 ¿Cómo sabemos que la curva es una elipse, una parábola, una hipérbola?

 Muy sencillo, como tenemos el denominador podemos saber si la curva tiene dos puntos en el infinito con lo cual sería una hipérbola, si la curva fuera una parábola, tendría un punto doble en el infinito, y si no tuviera ningún punto en el infinito sería una elipse, para ello lo que tenemos que ver son los ceros de este denominador.

 Es bastante sencillo, porque, si el peso toma valores entre cero y uno, la curva es una elipse, si el peso toma el valor unidad, es una parábola, cosa que ya sabíamos porque sitúo los pesos en la unidad, pues la curva no es racional, es polinómica, y si el peso es superior a la unidad, la curva es una hipérbola, pues bien, lo podemos ilustrar en esta pequeña animación.

 El parámetro V, el peso, no solamente es un parámetro de tensión, no solamente es un peso, sino que, encima, nos nos decide el carácter de la cónica.

 El caso que más nos interesa, seguramente, es el de una circunferencia.

 Nos ahorramos un poco la trigonometría que no es demasiado complicada si tenemos aquí un arco de apertura 2 α, llamamos α, por comodidad, es bastante fácil obtener los vértices del polígono control.

 El vértice c 0, es el origen del arco, el vértice C 2, es el final del arco y, el vértice c 1, pues, evidentemente, tendrá que estar en la intersección de las tangentes inicial y final con lo cual, los vértices del polígono, son bastante fáciles.

 Peso inicial y peso final, la unidad lo único que tenemos que saber, es cuál es el peso correspondiente al vértice intermedio.

 Haciendo unas cuentas, que son un poquito tediosas, podemos sacar que el peso es, precisamente, el coseno de la mitad del ángulo de apertura, el coseno de α.

 Con lo cual, tenemos una interpretación adicional para el peso.

 Vamos a trazar unas circunferencias, ya que las tenemos por aquí a mano.

 Los casos sencillos serían, casos de un arco de 90 grados, de 120 grados, por ejemplo, sí el arco fuera de 90 grados, el peso tendría que ser el coseno de 45 grados, entonces, tenemos que el peso tendría que ser raíz de dos partido por dos para un arco de 120 grados, el peso tendría que ser el coseno de 60, es decir, un medio.

 Vamos a jugar un poco con esto y podéis ver, entonces, una circunferencia trazada con tres arcos de 120, con seis arcos y trazamos muchos más términos, podemos aproximarnos, acercarnos mucho más a la circunferencia, todos son de manera exacta.

 Tenemos una salvedad, es que no podemos trazar curvas, arcos de circunferencia, con ángulos mayores o iguales a 180 grados.

 El porqué está bastante claro, no podemos trazar esta figura con un arco de 60 grados, porque si no el vértice c 1 se nos iría a infinito.

 Con esto espero haberos convencido de que trazar circunferencias, trazar cónicas en general es un procedimiento bastante sencillo utilizando curvas racionales de Bézier