WEBVTT

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00:00:08.280 --> 00:00:11.970
Como ya os he mencionado, uno de los motivos por
los cuales pasamos de las curvas polinómicas a las

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00:00:11.970 --> 00:00:15.890
curvas racionales, es poder trabajar 
con curvas como la circunferencia, la elipse,

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00:00:15.890 --> 00:00:19.510
la hipérbola, con curvas cónicas.

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00:00:19.510 --> 00:00:22.650
Las cónicas son curvas racionales de grado dos

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00:00:22.650 --> 00:00:29.000
aquí tenemos, entonces, un 
ejemplo sencillo de parametrización

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00:00:29.000 --> 00:00:31.430
de una curva de grado dos, racional, con su

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00:00:31.430 --> 00:00:34.080
su denominador y su numerador de grado dos.

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00:00:34.080 --> 00:00:37.680
Lo único que hemos hecho, para 
simplificar, es normalizar el peso inicial y el

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00:00:37.680 --> 00:00:40.670
peso final unidad, como 
hemos visto anteriormente, y

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00:00:40.670 --> 00:00:44.000
entonces nos queda solamente un parámetro 
libre que es el peso intermedio, el peso

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00:00:44.000 --> 00:00:52.050
W uno, que, para simplificar, 
lo llamaremos W simplemente.

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00:00:52.050 --> 00:00:58.320
¿Cómo sabemos que la curva es una elipse, 
una parábola, una hipérbola?

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00:00:58.320 --> 00:01:03.460
Muy sencillo, como tenemos el denominador 
podemos saber si la curva tiene dos puntos en el

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00:01:03.460 --> 00:01:07.910
infinito con lo cual sería una hipérbola, si la curva

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00:01:07.910 --> 00:01:10.720
fuera una parábola, tendría 
un punto doble en el infinito,

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00:01:10.720 --> 00:01:13.980
y si no tuviera ningún punto en 
el infinito sería una elipse, para ello

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00:01:13.980 --> 00:01:17.260
lo que tenemos que ver son los ceros de este denominador.

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00:01:17.260 --> 00:01:22.580
Es bastante sencillo, porque, si el peso 
toma valores entre cero y uno, la curva

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00:01:22.580 --> 00:01:27.990
es una elipse, si el peso toma el valor unidad, 
es una parábola, cosa que ya sabíamos porque

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00:01:27.990 --> 00:01:32.090
sitúo los pesos en la unidad, pues 
la curva no es racional, es polinómica, y

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00:01:32.090 --> 00:01:36.170
si el peso es superior a la unidad, la 
curva es una hipérbola, pues bien,

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00:01:36.170 --> 00:01:39.820
lo podemos ilustrar en esta pequeña animación.

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00:01:39.820 --> 00:01:43.350
El parámetro V, el peso, no solamente es un parámetro de

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00:01:43.350 --> 00:01:46.900
tensión, no solamente es un 
peso, sino que, encima, nos

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00:01:46.900 --> 00:01:53.900
nos decide el carácter de la cónica.

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00:01:55.770 --> 00:02:00.550
El caso que más nos interesa, 
seguramente, es el de una circunferencia.

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00:02:00.550 --> 00:02:04.180
Nos ahorramos un poco la trigonometría 
que no es demasiado complicada

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00:02:04.180 --> 00:02:09.660
si tenemos aquí un arco de apertura 2 α, 
llamamos α, por comodidad,

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00:02:09.660 --> 00:02:14.070
es bastante fácil obtener los 
vértices del polígono control.

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00:02:14.070 --> 00:02:18.650
El vértice c 0, es el origen del arco, 
el vértice C 2, es el final del arco

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00:02:18.650 --> 00:02:22.760
y, el vértice c 1, pues, evidentemente, tendrá 
que estar en la intersección de las tangentes

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00:02:22.760 --> 00:02:27.010
inicial y final con lo cual, los 
vértices del polígono, son bastante fáciles.

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00:02:27.010 --> 00:02:29.440
Peso inicial y peso final, la unidad

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00:02:29.440 --> 00:02:31.330
lo único que tenemos que saber, es

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00:02:31.330 --> 00:02:35.000
cuál es el peso correspondiente al
vértice intermedio.

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00:02:35.000 --> 00:02:41.030
Haciendo unas cuentas, que son un poquito tediosas, 
podemos sacar que el peso es, precisamente, el coseno

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00:02:41.030 --> 00:02:47.210
de la mitad del ángulo de apertura, el coseno de α.

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00:02:47.210 --> 00:02:51.070
Con lo cual, tenemos una interpretación adicional para el peso.

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00:02:51.070 --> 00:02:54.850
Vamos a trazar unas circunferencias, 
ya que las tenemos por aquí a mano.

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00:02:54.850 --> 00:03:02.600
Los casos sencillos serían, 
casos de un arco de 90 grados, de 120 grados,

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00:03:02.600 --> 00:03:07.040
por ejemplo, sí el arco fuera de 
90 grados, el peso tendría que ser

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00:03:07.040 --> 00:03:11.780
el coseno de 45 grados, entonces, tenemos que 
el peso tendría que ser raíz de dos partido por dos

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00:03:11.780 --> 00:03:18.820
para un arco de 120 grados, el peso tendría 
que ser el coseno de 60, es decir, un medio.

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00:03:18.820 --> 00:03:23.140
Vamos a jugar un poco con 
esto y podéis ver, entonces,

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00:03:23.140 --> 00:03:32.730
una circunferencia trazada con tres arcos de 120, 
con seis arcos y trazamos muchos más términos,

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00:03:32.730 --> 00:03:42.130
podemos aproximarnos, acercarnos mucho más 
a la circunferencia, todos son de manera exacta.

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00:03:42.130 --> 00:03:47.690
Tenemos una salvedad, es que no podemos trazar curvas,

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00:03:47.690 --> 00:03:50.080
arcos de circunferencia, con ángulos

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00:03:50.080 --> 00:03:52.810
mayores o iguales a 180 grados.

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00:03:52.810 --> 00:03:56.410
El porqué está bastante claro, no 
podemos trazar esta figura con un arco

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00:03:56.410 --> 00:04:02.480
de 60 grados, porque si no 
el vértice c 1 se nos iría a infinito.

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00:04:02.480 --> 00:04:07.930
Con esto espero haberos convencido de que 
trazar circunferencias, trazar cónicas en general es

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00:04:07.930 --> 00:04:12.700
un procedimiento bastante sencillo 
utilizando curvas racionales de Bézier